把数学说清楚

先把集合想成一份名单。名单中的一个位置，可以放一个数，也可以放一个集合。数元素时，先看最外层大括号直接列出了哪些对象。

例如A={1,{2},∅}，最外层列了三个对象：数1、集合{2}、空集∅。所以A有三个元素。数2藏在元素{2}里面，却没有被直接列为A的元素；因此2∉A，而{2}∈A。

再看∅与{∅}。前者的名单是空的；后者的名单上列着一个对象——空集。不能因为那个对象里面没有东西，就把名单上的这一项也抹掉。

0是一个数，用来回答“有多少个”；∅是一个集合，用来表示“没有元素”。可以说“空集有0个元素”，不能因此写∅=0。本书把数与装着数的集合当作不同的对象。

自己试读{0}：它既不等于∅，也不等于{∅}。它有一个元素，这个元素是数0。

我们来读B={n∈ℤ:−2≤n<3}。别急着抄数字，先读完整句：“从整数中，选出大于或等于−2、并且小于3的数。”

先检查边界：−2满足−2≤n，所以要放进去；3不满足n<3，所以不能放进去。再检查中间的整数−1、0、1、2，它们都符合要求。

为什么没有2.5？它满足大小条件，却不在整数这个取值范围里。一个对象必须先在范围中，再满足筛选条件，才会成为元素。

为什么没有−3？它是整数，却没有通过后面的大小条件。两个检查缺一不可。

现在把n换成x，写成{x∈ℤ:−2≤x<3}，选出的数完全一样。变量是临时名字；范围和条件决定了集合。

假设第一项记录小组编号，第二项记录座位编号。小组集合A={1,2}，座位集合B={3,4}。数对(1,3)读成“第1组的第3号座位”，不计算1×3。

为了列出A×B，可以做两轮。第一轮把第一项固定为1，得到(1,3)、(1,4)。第二轮固定为2，得到(2,3)、(2,4)。所有选择都已列出。

如果改成B×A，第一项必须从3、4中选，于是得到(3,1)、(3,2)、(4,1)、(4,2)。这与前面的集合不同，不是简单地把书写顺序打乱。

判断两个数对是否相同，要逐个位置比较：(1,3)与(1,4)第一项相同，第二项不同，所以不是同一个数对。

第四部分会用第一项记录输入，用第二项记录输出。现在保留顺序，就是在为那时的“谁对应谁”作准备。

令A={2,4,6}。检查“2∈A”，是在名单里找数2；检查“{2,4}⊆A”，是在问小名单里的每一个元素，是否都出现在A里。

后一件事可以分两步：2在A里，4也在A里，所以{2,4}⊆A。若改成{2,5}，检查到5就失败了。因此一个不合格元素，足以推翻包含关系。

“A⊆A”没有问题：拿出A中的哪个元素，它当然仍在A中。所以⊆允许两边相等；只有⊊才额外要求两边不同。

空集为什么也包含于A？“小名单的每一项都在大名单里”要失败，必须有一项违反要求。小名单没有任何项，就没有违反要求的项。这句话不声称空集里面存在某个神秘元素。

常见误写是“{2}∈A”。A里直接列出的是数2，没有列出集合{2}。如果把大集合改成D={{2},4,6}，这时{2}∈D才成立。

仍取A={2,4,6}，B={3,6,9}。对一个数，只问：“它在A里吗？”“它在B里吗？”然后按运算规则决定是否保留。

对6，答案是“在、在”：交集要它，并集也要它，A∖B却不要它，因为它也在B里。对2，答案是“在、不在”：交集不要，并集和A∖B都要。

对3，答案是“不在、在”：它进入并集，但不进入交集或A∖B。对5，答案是“不在、不在”：三个结果里都没有它。

并集允许同时在两者中的元素入选，这就是数学中“或”的意思。它不要求“只能选其中一个集合”。交集则把“两个条件同时满足”作为要求。

最后把保留下来的不同元素写成集合。6即使在两份名单中都出现，结果中也只保留一个6。

先固定A={2,4}。如果只讨论U={1,2,3,4}，不在A里的对象就是1、3，补集为{1,3}。

再把讨论范围扩大为W={1,2,3,4,5,6}，仍然保持A={2,4}不变。这时补集变成{1,3,5,6}。6也要放进去，因为我们没有把A自动改成“W里的全部偶数”。

这个例子有两个独立选择：先选全集，再选它里面的子集。集合一旦给定，就按它实际包含的元素计算，不按名字猜测。

把“补集”读成完整的话：“在当前全集中，不属于A的那些元素。”这样就不会把范围之外的对象也加进来。

后面否定一个关于数的条件时，也要先说清范围。在整数里“不是偶数”就是奇数；在实数里，还会有2.5这样的对象。逻辑中的“不”也离不开讨论范围。

把图4中的数6单独拿出来。它在A的边界内，也在B的边界内，所以属于交集。无论画图时用什么颜色，这个判断都不变。

数2只在A圈里，所以它满足“属于A但不属于B”；数3只在B圈里；数1在两个圈外，却仍在全集U的框里。

因此“不同时属于A和B”会选出除了重叠部分以外的所有对象；“既不属于A，也不属于B”只选两个圈外的对象。两句话并不一样，2就是区别它们的例子。

不要通过圈画得大不大来猜元素多少，也不要认为交集必须有元素。交集为空时，可以在文氏图的重叠区域中标出∅；不能仅凭画出了重叠区域，就断定其中有元素。

画图帮助发现关系，文字条件帮助检查每个元素。遇到一个新的集合例子，先说条件，再根据条件确定图中的位置。

先比较“1000001是质数”和“x是质数”。第一句话已经指定了整数，真假取决于这个数的因数，不取决于我们会不会检查。第二句话却没有指定x，不同取值会得到不同结果。

所以，第一句是我们暂时不知道真假的命题；第二句是关于x的条件，还需要给x取值，或者说明要谈论哪些x。

再换成图形。“是三角形”还没有说清楚谁是三角形；“图a是三角形”在图a已经指定时，才有确定真假。把前一句记成P(x)，就是保留一个等待填入对象的位置。

不能因为一句话是假的，就说它不是命题。“3是偶数”虽然假，却是一句完整的命题。也不能因为句子有字母就一律排除：如果上下文已经规定x=3，“x是偶数”也已经有了确定对象。

检查顺序是：它是否在陈述一件事？对象和意思是否确定？最后才判断它为真还是为假。

假设入选条件是“是偶数，或者是3的倍数”。数2靠第一个条件入选，数3靠第二个条件入选，数6同时满足两个条件，也应当入选。数学中的∨就是“至少满足一个”。

如果题目真的要求“恰好满足一个”，就必须另外说清楚：“满足其中一个，但不能同时满足两个。”不能把这个额外要求偷偷加进普通的∨。

现在设P为真、Q为假。∼(P∧Q)先算括号：P∧Q是假，再否定它，得到真。(∼P)∧Q先否定P，得到假；再与假的Q连接，仍是假。

两式用了相同的P、Q和相同的符号，括号不同，结果就不同。这与算术中2×(3+4)和2×3+4不同是同一个阅读习惯：先看结构，再计算。

读较长的逻辑式时，可以先用铅笔圈出最外层的联结词，找出它连接的是哪两块，再分别处理里面的部分。

检查“如果n是偶数，那么n是质数”。我们暂时只检查一个指定的n，记P(n)为前件，Q(n)为后件。

1. n=2：它是偶数，也是质数。条件提出了要求，结果符合要求，所以这一例为真。
2. n=4：它是偶数，却不是质数。条件提出了要求，结果违反要求，所以这一例为假。
3. n=3：它不是偶数，却是质数。前件没有成立，这个对象没有违反“偶数应当怎样”的要求，所以条件命题为真。
4. n=1：它既不是偶数，也不是质数。同样因为前件没有成立，这个条件命题仍然为真。

第三、四种情况的“真”，都没有告诉我们“n是偶数”。第四种也没有告诉我们“n是质数”。它只是在按定义计算整个条件命题的真值。

再回到“每个偶数都是质数”这个普遍说法：它要求所有n都不能出现第二种情况。4已经使它失败，所以找到再多通过检查的数，也不能挽救这个普遍说法。

先不要看“充分”“必要”这两个名字，只问一句：“知道前一件事，能不能保证后一件事？”

设P为“这个三角形是等边三角形”，Q为“这个三角形是等腰三角形”。知道P以后，三边相等，当然至少两边相等，所以可以保证Q。

从P这一侧看，P已经够用，因此P是Q的充分条件。从Q这一侧看，如果连Q都没有满足，就不可能满足P，因此Q是P的必要条件。这是同一条保证的两种读法。

可是知道Q不能保证P。边长2、2、3的三角形通过了等腰条件，却没有通过等边条件。它说明Q还不够充分，也说明P不是Q所必需的。

遇到“充要条件”，就重新检查反方向。只有P保证Q、Q也保证P时，才能写“当且仅当”。不要把一个方向的例子重复写两遍，当成两个方向。

试算(P∨Q)∧(∼P)。它不是一次完成的运算，可以加两个中间栏目：先算P∨Q，再算∼P，最后把它们用∧连接。

只看第三行：P假、Q真，所以“P或Q”为真，“非P”也为真，最后的“且”得到真。其他行至少有一个被连接的部分为假。

算完后，再用语言检查：“至少有一个真，而且P不真”，那就只能是P假、Q真。这个解释与最后一列一致。

中间栏目能保留每一步理由。刚开始时宁可多写两列，也不要凭感觉跳到答案。

在U={1,2,3,4,5,6}中，令P(x)表示“x是偶数”，Q(x)表示“x>3”。满足P的集合是A={2,4,6}，满足Q的集合是B={4,5,6}。

“P或Q”选出A∪B={2,4,5,6}。否定整个条件后，剩下{1,3}。

换一条路：先否定P，得到不是偶数的{1,3,5}；再否定Q，得到不大于3的{1,2,3}。德摩根律告诉我们，这两份名单要取交集，于是同样得到{1,3}。

为什么这里不能取并集？如果取并集，5也会被选进来；可是5满足Q，“P或Q”本来就是真的，它不该被选进整个句子的否定中。

因此，否定“或”要变成“且”，还要分别否定两边。集合里相应地把“并”变成“交”，同时取各自的补集。两种写法做的是同一次筛选。

先把范围固定成A={1,2,3,4,5,6}。如果要说明“所有元素都是偶数”，必须让六个元素全部通过检查。只检查到1，就能知道这个说法失败。

如果要说明“存在一个偶数”，找到2就够了。即使1、3、5不满足，也不会推翻“至少有一个满足”的说法。

反过来，要说明“A中不存在大于10的数”，就不能只看1。这里因为名单有限，我们可以检查全部六个数，确认没有一个满足条件。

如果把范围换成ℕ，只检查前六个数就不够了。11就是一个大于10的自然数。一次检查到底能说明什么，取决于量词和论域。

可以记成两组任务：证明“所有”，要有覆盖整个范围的理由；反驳“所有”，一个失败对象足够。证明“存在”，一个成功对象足够；反驳“存在”，要说明整个范围都找不到。

先玩第一个游戏：你给一个自然数n，我再选自然数m，要求m>n。你给5，我选6；你给100，我选101。无论你给什么，我都可以按m=n+1回答。

所以∀n∈ℕ，∃m∈ℕ，m>n成立。m不是一开始就固定好的，它可以依赖你先给的n。

第二个游戏改变顺序：我先写下一个m，之后你可以给任何自然数n，仍要求m>n。不管我把m写得多大，你只要给n=m，我就无法满足严格大于。

所以∃m∈ℕ，∀n∈ℕ，m>n不成立。失败的原因不是我还没找到足够大的数，而是每一个事先固定的m，都能被同样的办法击败。

最后的极限定义也有这种先后次序：先给误差ε，再选界限N，然后检查所有后续编号n。把“谁可以依赖谁”读清楚，长公式就有了行动顺序。

做三次检查。第一，字母能取哪些对象？第二，要求“每个”还是“存在”？第三，两个条件之间是“且”“或”，还是“如果……那么……”？

写完后，把式子从左到右读回中文。例如∃n∈ℕ，(n>5且n是偶数)，读回“存在一个大于5的偶数”，可用6检查。若写成∀n，读回就变成“每个自然数都大于5并且是偶数”，原意已经改变。

符号表达不等于证明。准确写出一句话，只是明确了要判断或证明的内容；要说明它是真的，仍然需要理由。

要否定“所有三角形都是等腰三角形”，只需要有一个三角形不是等腰的。边长3、4、5的三角形已经足够；不需要证明所有三角形都不等腰。

如果把否定写成“所有三角形都不是等腰三角形”，就把要求改强了。原句失败时，这个过强的句子仍可能失败，因此它不是准确的否定。

再看“存在一个偶数是质数”。准确否定是“不存在这样的偶数”，也就是“每个偶数都不是质数”。取2检查，原句为真，否定为假，两者确实相反。

处理“对于每个x，如果P(x)，那么Q(x)”时，先把“每个”改成“存在”，再让条件命题失败。得到的是“存在x，P(x)为真且Q(x)为假”。

不要把失败的对象放到前件之外。反驳“质数都是奇数”时，4不是合适对象，因为它根本不是质数；2才同时满足前件并违反后件。

已知“能被4整除的整数都是偶数”。如果又知道8能被4整除，得到8是偶数，这条推理有保证：它使用了前件。

如果反过来说“8是偶数，所以8能被4整除”，结论也碰巧为真，但使用的是另一个推理形式。用6替换8，同样的前提“6是偶数”为真，结论却变成假的。

我们据此知道：仅仅满足“偶数”这一后件，不能保证满足“能被4整除”这一前件。这就是肯定后件的问题。

另一个错误是：“6不能被4整除，所以6不是偶数。”没有满足前件，并不说明后件也不成立；6正好是偶数。

检查一段推理时，可以问：“能否保留前提全真，却让结论变假？”如果能找到这样的情况，这个推理形式就没有给出保证。

假设草稿上只写着“4k→2→偶数”。读者不知道4k是什么，也不知道箭头表示代换、除法，还是某个命题推出另一个命题。

先补对象：“设n是能被4整除的整数。”再展开条件：“于是n=4k，其中k是整数。”这两句话说明了n和k的来源。

接着写等式：“n=4k=2(2k)。”等号连接的是相等的数的表达式。最后补理由：“因为2k也是整数，所以n满足偶数的定义。”

这段文字中，n=4k与n=2(2k)各自都是可以判断真假的等式；4k单独出现，只是一个表示数的式子。不要把对象与关于对象的话混用。

写证明不是尽量把中文删光。恰当的“设”“由定义”“因为”“所以”，会告诉读者当前的对象、依据和目标。

取三个三角形组成的集合T={a,b,c}。设a、b全等，而c与它们都不全等。现在同时选择两个图形，检查前一个与后一个是否全等。

所有可能的选择在T×T中。只保留全等的配对，会得到：

每个图形都能与自己重合，所以有(a,a)、(b,b)、(c,c)。a、b能互相重合，所以有(a,b)、(b,a)。c与另两个不全等，所以没有那些交叉配对。

这里R是T×T的子集，元素是数对。若改成固定比较对象a，收集“与a全等的图形”，就得到C={a,b}，它是T的子集，元素是图形。

两种写法都正确，但记录的对象不同：一个记录“两者之间的关系”，一个记录“与指定对象有这种关系的那些图形”。这正是有序对在集合语言中的用处。

先读定义域A，明确哪些输入必须被处理；再读陪域B，明确输出必须落在哪里。离开这两个范围，单独看一张配对表，可能看不出它是否满足题目要求。

例如A={1,2}，B={3,4}，f={(1,3),(2,3)}。输入1有一个输出3，输入2也有一个输出3，所以它是函数。陪域里的4没人输出，没有违反函数定义。

如果把定义域改成{1,2,5}，却保持这张表不变，就漏掉了输入5；它不再是从新定义域到B的函数。同一张配对表，要连同指定的范围一起检查。

不同输入得到相同输出也允许。例如g:ℤ→ℤ，g(n)=n²，输入2和−2都输出4。每个输入自己仍只有一个输出，所以没有问题。

真正不允许的是同一个输入同时对应不同输出。例如同时列出(1,3)和(1,4)，就不能再把这两个输出都叫作同一个函数的f(1)。

“乘2”说明计算规则，却没有说允许输入什么，也没有指定陪域。上面的f:{1,2}→{2,4,6}只处理1和2。

另设g:ℕ→ℕ，g(n)=2n。它还要处理3、4、5，等等，因而与f的定义域不同。

再设h:{1,2}→{2,4}，h(1)=2、h(2)=4。h与f的配对相同，但指定的陪域不同。接下来会看到，这会影响“是不是满射”的判断。

阅读一个映射，要一起看定义域、陪域、对应规则。不能因为公式相同，就忽略题目指定的范围。

单射可以写成：对任意x₁、x₂∈A，只要x₁≠x₂，就有f(x₁)≠f(x₂)。下标1、2只是用来区分这两个输入。

利用逆否命题，还可以写成：

意思是：若两个输出相同，那么它们原来就是同一个输入。这种写法很适合证明单射。

满射则写成：

先任取一个希望得到的输出y，再去A中找输入x。不同的y可以选择不同的x。满射没有要求这个x唯一；加上单射后才保证唯一。

设E={2,4,6,…}是正偶数集，定义f:ℕ→E，f(n)=2n。每个自然数都得到唯一的正偶数，所以它是映射。

证明单射。任取m,n∈ℕ，假设f(m)=f(n)。那么2m=2n，两边除以2，得到m=n。按照上一段的条件，f是单射。

证明满射。任取y∈E。因为y是正偶数，所以y=2k，其中k是某个自然数。取输入n=k，就有f(n)=2k=y。这对每个y∈E都行，所以f是满射。

两个条件都满足，f是双射。这也解释了为什么1↔2、2↔4、3↔6、……能把两边逐个配起来。无限集合能和自己的真子集一一对应；这里不要套用“有限集合少取一些元素就会变少”的判断。

写f:A→B、g:B→C时，f的每个输出都在B里，正好能作为g的输入，所以对A里的每个元素都能完成两步。

例如f把1、2分别配到2、4，而g只接受2、3作为输入。输入1时，f(1)=2还能交给g；输入2时，f(2)=4却不能交给g。这样就没有定义出在整个{1,2}上的g∘f。

更一般地，只要f的所有实际输出都在g的定义域中，就能连接。关键是每个输入都要能走完整个过程。

把A中每个元素都配回它自己的映射，叫恒等映射，记作id_A：id_A(x)=x。id是名称，下标A说明它作用在哪个集合上。

f和它的逆映射接在一起，就把输入送回原处：

用上一节的复合记号，就是f⁻¹∘f=id_A，f∘f⁻¹=id_B。例如2经f变为4，再经f⁻¹变回2。

如果一个映射是单射但不是满射，可以先把陪域缩小到值域，再讨论逆映射。必须明确这个范围变化，不能直接说原映射在整个陪域上有逆映射。

设U、V都是陪域B的子集，任取x∈A。x属于f⁻¹(U∩V)，按定义就是f(x)属于U∩V。

按照交集的定义，这等于说f(x)∈U且f(x)∈V。再按原像的定义，就是x∈f⁻¹(U)且x∈f⁻¹(V)。

因此，左边和右边选出的输入完全一样，得到：

这里把函数条件、命题中的“且”、集合的交集串在了一起。每一步只是在展开已经学过的定义。

公式a_n=1−0.1ⁿ里的n，是输入的编号。算第1项就代入n=1，得到a₁=1−0.1=0.9。

算第2项时，先做乘法0.1²=0.1×0.1=0.01，再做减法，得到a₂=0.99。算第3项，0.1³=0.1×0.1×0.1=0.001，所以a₃=0.999。

“第3项是多少”的答案是0.999；“第3项距离1多远”的答案是0.001。这是两个不同的问题，不能把越来越小的误差当作越来越大的项值。

0.1ⁿ不是0.1×n。上标n表示连续相乘的次数；下标n只是给数列的项编号。两个n都与第几项有关，但在式子里承担的任务不同。

每一个实际编号n都是有限的自然数，因此算出的a_n也是有限小数。极限要讨论的是整串项的关系，不是在公式里偷偷代入一个“最后编号”。